Question

2．在△ABC中，已知A（3，1），B（1，0），C（2，3），
（1）判断△ABC的形状；
（2）设O为坐标原点，$\overrightarrow{OD}$=m$\overrightarrow{OC}$（m∈R），且（$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{OC}$）∥$\overrightarrow{BC}$，求|$\overrightarrow{OD}$|．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的坐标运算，求出|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{AC}$|，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，根据夹角公式求解．
（2）利用向量的平行关系，求出m的值，在求解|$\overrightarrow{OD}$|．

解答 解：（1）由题意：A（3，1），B（1，0），C（2，3），
∴$\overrightarrow{AB}=（{-2，-1}），\overrightarrow{AC}=（{-1，2}）$，∴$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2-2=0$，故AB⊥AC，
因此△ABC是等腰直角三角形．
（2）∵O为坐标原点，$\overrightarrow{OD}$=m$\overrightarrow{OC}$（m∈R），$\overrightarrow{OC}$=（2，3），$\overrightarrow{BC}$=（1，3）
由$（\overrightarrow{AB}-m\overrightarrow{OC}）$∥$\overrightarrow{BC}$得：（-2-2m，-1-3m）∥（1，3），⇒-6-6m=-1-3m
解得：$m=-\frac{5}{3}$，
所以$|\overrightarrow{OD}|=|m|•|\overrightarrow{OC}|=\frac{{5\sqrt{13}}}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的基本运算，考查了向量垂直与数量积的关系，属于中档题．