Question

12．记数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，则a₂₀₁₆=（　　）

• A． $\frac{2016}{{2}^{2016}}$
• B． 2016×2²⁰¹⁵
• C． 2016×2²⁰¹⁶
• D． $\frac{2016}{{2}^{2015}}$

Answer 1

分析 根据数列{a_n}的前n项和递推公式a_n=S_n-S_n-1，利用题目中的等式求出a₁的值，再计算a₂₀₁₆的值．

解答 解：数列{a_n}的前n项和为S_n，
且S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，
∴S_n-1+（1+$\frac{2}{n-1}$）a_n-1=4，（n≥2）；
∴（S_n-S_n-1）+$\frac{n+2}{n}$a_n-$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1=0，
即$\frac{2n+2}{n}$a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，
∴a_n=$\frac{n}{2（n-1）}$a_n-1，（n≥2）；
…，
a₃=$\frac{3}{2×2}$a₂，
a₂=$\frac{2}{2×1}$a₁；
又n=1时，a₁+3a₁=4，
∴a₁=1；
∴a₂₀₁₆=$\frac{2}{2×1}$•$\frac{3}{2×2}$•$\frac{4}{2×3}$•$\frac{5}{2×4}$…$\frac{2016}{2×2015}$
=$\frac{2016}{{2}^{2015}}$．
故选：D．

点评 本题考查了数列{a_n}的前n项和的递推公式与应用问题，是中档题目．