Question

2．如图，三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，△ACP是直角三角形，∠ABP=∠CBP，AB=BP．
（1）证明：平面ACP⊥平面ABC；
（2）若E为棱PB与P不重合的点，且AE⊥CE，求AE与平面ABC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：△ABP≌△CBP．可得AP=CP，由△ACP是直角三角形，可得△ACP是等腰直角三角形，∠APC=90°．取AC的中点O，连接OP，OB．可得OP⊥AC，OB⊥AC．可得OP²+OB²=BP²，可得OP⊥OB．可得OP⊥平面ABC．即可证明结论．
（2）在△ABP中，AE⊥BP，利用面积可得AE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．可得BE=$\frac{3}{2}$．在平面BPO内：过点E作EF⊥OB，垂足为点F，则EF⊥平面ABC，连接AF．可得∠EAF是AE与平面ABC所成的角．进而得出．

解答 （1）证明：∵∠ABP=∠CBP，AB=BP=BC．
∴△ABP≌△CBP．
∴AP=CP，
又△ACP是直角三角形，∴△ACP是等腰直角三角形，∠APC=90°．
Q取AC的中点O，连接OP，OB．
则OP⊥AC，OB⊥AC．
不妨设AC=2．
则OP=1，OB=$\sqrt{3}$，BP=AB=2．
∴OP²+OB²=BP²=4，∴∠BOP=90°．
∴OP⊥OB．又OB∩AC=O．
∴OP⊥平面ABC．OP?平面ACP．
∴平面ACP⊥平面ABC．
（2）解：在△ABP中，AE⊥BP，∴AE=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
可得BE=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
在平面BPO内：过点E作EF⊥OB，垂足为点F，则EF⊥平面ABC，连接AF．
则∠EAF是AE与平面ABC所成的角．
∴$\frac{EF}{OP}=\frac{BE}{BP}$，可得EF=$\frac{\frac{3}{2}×1}{2}$=$\frac{3}{4}$．
∴sin∠EAF=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面面面垂直的判定定理与性质定理、线面角、勾股定理与逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．