Question

17．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，PA⊥平面ABCD，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAE；
（Ⅱ）若PA=AB=2，F为PE的中点，求三棱锥A-DEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在矩形ABCD中，由题意可得△ABE，△CDE均为等腰直角三角形，得到AE⊥DE．再由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DE．然后利用线面垂直的判定可得DE⊥平面PAE；
（Ⅱ）直接利用等积法求三棱锥A-DEF的体积．

解答 （Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，∵BC=2AB，E为BC的中点．
∴$BE=CE=\frac{1}{2}BC=AB=CD$，
∴△ABE，△CDE均为等腰直角三角形，
∴$∠AEB=∠DEC=\frac{π}{4}$，得AE⊥DE．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE．
又AE∩PA=A，∴DE⊥平面PAE；
（Ⅱ）解：∵AB=2，∴${S_{△ADE}}=\frac{1}{2}×2×4=4$．
∵F为PE的中点，∴${V_{A-DEF}}={V_{F-ADE}}=\frac{1}{2}{V_{P-ADE}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×4×2=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．