Question

7．已知函数$f（x）=\sqrt{a{x^2}+ax+3}$的定义域为R，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（{\frac{1}{3}，+∞}）$
• B． （0，12]
• C． [0，12]
• D． $（{-∞，\frac{1}{3}}]$

Answer 1

分析 把函数$f（x）=\sqrt{a{x^2}+ax+3}$的定义域为R转化为ax²+ax+3≥0对任意实数x恒成立，然后对a分类讨论求解得答案．

解答 解：∵函数$f（x）=\sqrt{a{x^2}+ax+3}$的定义域为R，
∴ax²+ax+3≥0对任意实数x恒成立，
当a=0时满足题意；
当a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-12a≤0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤12．
∴实数a的取值范围为[0，12]．
故选：C．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．