Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），满足

m

•

n

=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且

AC

•(

AC

-

AB

)=18，求边c的长．

Answer 1

（1）

m

•

n

=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)
对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC
∴

m

•

n

=sinC
又∵

m

•

n

=sin2C，
∴sin2C=2sinCcosC=sinC，即cosC=

1

2

，又C∈（0，π）
∴C=

π

3

；
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB
由正弦定理得2c=a+b，
∵

AC

•(

AC

-

AB

)=18，
∴

AC

•

BC

=18，
得abcosC=18，即ab=36，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，即c²=36，
∴c=6．