Question

函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（-1）=0，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则

2010

k=0

f(

k

2

)的值是

0

．

Answer 1

分析：从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解．

解答：解：由xf（x+1）=（1+x）f（x），得-

1

2

f(

1

2

)=

1

2

f(-

1

2

)，
又f（x）为偶函数，所以f(

1

2

)=0，
则

1

2

f(

3

2

)=

3

2

f(

1

2

)，所以f(

3

2

)=0，以此类推，可得f（

1

2

）=f（

3

2

）=…=f（

2009

2

）=0，
f（1）=f（-1）=0，
所以1•f（2）=2f（1），所以f（2）=0，
由2f（3）=3f（2），得f（3）=0，以此类推，可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（1005）=0，
由0•f（1）=1•f（0），得f（0）=0，
所以

2010

k=0

f(

k

2

)=f（0）+f（

1

2

）+f（1）+f（

3

2

）+…+f（

2009

2

）+f（1005）=0，
故答案为：0．

点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．