Question

（2012•月湖区模拟）已知三棱锥O-ABC，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△OBC内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面OAB、OBC、OAC围成的几何体的体积为

π

6

．

Answer 1

分析：由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．

解答：解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），
可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，
则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的

1

8

，即：V=

1

8

×

4

3

π×1³=

π

6

．
故答案为：

π

6

．

点评：此题考查了学生的空间想象能力，还考查了球体，三棱锥的体积公式即计算能力．