Question

已知圆C：(x－3)²＋(y－4)²＝4，直线l₁过定点A(1，0)．
(1)若l₁与圆相切，求l₁的方程；
(2)若l₁与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6

(1)①若直线l₁的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心(3，4)到已知直线l₁的距离等于半径2，即＝2，解得k＝.
∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.
由得N.又直线CM与l₁垂直，
由得M.
∴AM·AN＝·
＝＝6为定值．
故AM·AN是定值，且为6.
(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.
由得N.再由
得(1＋k²)x²－(2k²＋8k＋6)x＋k²＋8k＋21＝0.
∴x₁＋x₂＝，得M.
以下同解法1.

(解法3)用几何法
连结CA并延长交l₂于点B，k_AC＝2，kl₂＝－，
∴CB⊥l₂.如图所示，△AMC∽△ABN，则，
可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值