Question

是否存在常数a、b、c使等式1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2²+1²=an（bn²+c）对于一切n∈N^*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．

解答：解：假设存在a、b、c使1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2¹+1²=an（bn²+c）对于一切n∈N^*都成立．
当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19．
解方程组

a(b+c)=1 a(4b+c)=3 3a(9b+c)=19

，解得

a= 1 3 b=2c c≠0

证明如下：
①当n=1时，由以上知存在常数a、b、c使等式成立．
②假设n=k（k∈N^*）时等式成立，
即1²+2²+3²+…k²+（k-1）²+…2²+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k(2k2+1)；
当n=k+1时，1²+2²+3²+…（k+1）²+k²+…2²+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k(2k2+1)+（k+1）²+k²=

1

3

(k+1)[2(k+1)2+1]；
即n=k+1时，等式成立．
因此存在a=

1

3c

，b=2c，c≠0常数，使等式对一切n∈N^*都成立．

点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．