Question

已知函数，且．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

解：（1）因为，所以，所以m=1．
（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，
所以f（x）是奇函数．
（3）任取x₁＞x₂＞0，则，
因为x₁＞x₂＞0，所以，所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．
分析：（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；
（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（-x）的关系，即可得到答案；
（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x₁＜x₂，只要证明f（x₁）＞f（x₂），即可．
点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．