Question

【题目】已知抛物线：（）的焦点为，准线为，若点在抛物线上，点在直线上，且是周长为12的等边三角形.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，若，求直线斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据正三角形的周长可以确定三角形的边长，根据抛物线的定义可以确定，解三角形可以确定，得到结果；

（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量数量积坐标公式，建立相应的不等关系式，求解得结果.

（1）因为是周长为12的等边三角形，

所以，

由抛物线的定义可得，设准线与轴交于点，

则，从而，

在中，，即，

所以抛物线的标准方程为.

（2）由（1）知抛物线的标准方程为.

又由题意可知，直线的斜率存在且不为0，

因为，所以点即为，

设直线的方程为，

将代入，消去可得，

则，解得或.

设，，

则，，且，，

所以

，

解得，所以直线的斜率的取值范围为.