Question

【题目】已知数列满足：对任意，都有.

（1）若，求的值；

（2）若是等比数列，求的通项公式；

（3）设，，求证：若成等差数列，则也成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）依据下标的关系，有，，两式相加，即可求出；（2）依据等比数列的通项公式知，求出首项和公比即可。利用关系式，列出方程，可以解出首项和公比；（3）利用等差数列的定义，即可证出。

（1）因为对任意，都有，所以，，两式相加，，解得；

（2）设等比数列的首项为，公比为，因为对任意，都有，

所以有，解得，又 ，

即有，化简得，，即，

或，因为，化简得，所以

故。

（3）因为对任意，都有，所以有

，成等差数列，设公差为，

，， ，

，由等差数列的定义知，

也成等差数列。