Question

【题目】设函数，，，其中是的导函数.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）设，比较与的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，理由见解析.

【解析】

（1）不等式恒成立等价于恒成立，再构造函数，利用导数求最值即可得解.

（2）利用分析法可得要比较与的大小，则只需比较与的大小，再结合（1）可得，再不等式左右两边分别取值累加求和即可.

解：（1）由题意有，

由已知恒成立，即恒成立.

设，则，

当时，仅当，时等号成立，

在上单调递减，又，在上恒成立，

时，恒成立（仅当时等号成立）.

当时，对有，

在上单调递增，

，

即时，存在，使，故知不恒成立.

综上可知，的取值范围是.

（2）由题设知，，

要比较与的大小，

则只需比较与的大小.

在（1）中取，可得，.

令，，则.

由累加法可得，

即 .