【题目】公元2020年春,我国湖北武汉出现了新型冠状病毒,人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等,严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播,我国科研人员,在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中,利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现症状的情况,决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为:①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次;②连续接种三天为一个接种周期;③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为
,假设每次接种后当天是否出现
症状与上次接种无关.
(1)若某只小白鼠出现症状即对其终止试验,求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率;
(2)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状,则在这个接种周期结束后,对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为
,求
的分布列及数学期望.
【答案】(1);(2)分布列见解析,
.
【解析】
(1)利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出实验至多持续一个接种周期的概率;
(2)设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次
症状”,分别求出
,
,
,由此能求出
的分布列和数学期望.
(1)已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为
,且每次试验间相互独立,所以,一只小白鼠第一天接种后当天出现
症状的概率为
在第二天接种后当天出现症状的概率为:
能参加第三天试验但不能参加下一个接种同期的概率为:,
∴一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为:
;
(2)设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次
症状”,则
;
随机变量可能的取值为1,2,3,则
;
所以的分布列为
1 | 2 | 3 | |
随机变量的数学期望为:
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【题目】“十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标,打响了精准扶贫的攻坚战,为完成脱贫任务,某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工,已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元,每生产1千件需另投入5.4万元,设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完,每千件的销售收入为万元,已知
(1)请写出月利润y(万元)关于月产量x(千件)的函数解析式;
(2)月产量为多少千件时,该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大?并求出最大月利润(精确到0.1万元).
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【题目】已知椭圆:
的右焦点为
,上顶点为
,直线
的斜率为
,且原点到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若不经过点的直线
:
与椭圆
交于
两点,且与圆
相切.试探究
的周长是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知定点,定直线
:
,动圆
过点
,且与直线
相切.
(Ⅰ)求动圆的圆心轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线
相交于
,
两点,分别过点
,
作曲线
的切线
,
,两条切线相交于点
,求
外接圆面积的最小值.
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【题目】一个函数,如果对任意一个三角形,只要它的三边长
、
、
都在
的定义域内,就有
、
、
也是某个三角形的三边长,则称
为“保三角形函数”.
(1)若是定义在
上的周期函数,且值域为
,证明:
不是保三角形函数;
(2)若是保三角形函数,求
的最大值.
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