Question

12．两个距离为3的平行平面截球O所得两个截面圆的半径分别为$\sqrt{3}$和2，则球O的表面积为$\frac{208}{9}π$．

Answer 1

分析 分析出两个截面所存在的两种情况，求出球的半径，即可得出结论．

解答 解：设球心到截面的距离分别为d₁，d₂，球的半径为R．
如图①所示．当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差．
即d₁-d₂=$\sqrt{{R}^{2}-3}$-$\sqrt{{R}^{2}-4}$=3，无解．
如图②所示．当球的球心在两个平行平面的之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．
即d₂+d₁=$\sqrt{{R}^{2}-3}$+$\sqrt{{R}^{2}-4}$=3，所以R=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$．
所以球O的表面积为$\frac{208}{9}π$
故答案为：$\frac{208}{9}π$．

点评 本题主要考查两个平行平面间的距离计算问题．此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系以及空间想象能力和计算能力．