Question

【题目】如图，四棱锥中，，，，，，，点为中点.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般转化成证明平面. (2)第（2）问，一般利用空间向量线面角的公式求解.

试题解析：（1）证明：取中点，连接、，

∵，，

∴，，

∵，

∴平面，平面，

∴，又∵，

∴.

（2）解：过做于，

∵平面，平面，

∴，∵，∴平面.

过做交于，则、、两两垂直，

以、、分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，

∵，，，，点为中点，

∴，，

∴，

∴，

∴，，.

∵，，

∴，，

∴四边形是矩形，，

∴，，，，

∵为中点，

∴，

∴，，.

设平面的法向量，

由，得，

令，得，

则，

则与所成角设为，其余角就是直线与平面所成角，设为，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为.