Question

如图，四边形ACDF为正方形，且平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF⊥平面ABC，BC=2DE，DE∥BC，M为AB的中点．
（Ⅰ）证明：BC⊥AD；
（Ⅱ）证明EM∥平面ACDF．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）首先根据面面垂直，进一步转化成线面垂直，最后转化成线线垂直．
（Ⅱ）利用中点和三角形中位线，得到线线平行，最后转化成线面平行．

解答： 证明：（Ⅰ）四边形ACDF为正方形，且平面ACDF⊥平面BCDE，
所以：AC⊥CD，AC⊥平面CBDE
所以：AC⊥BC
又平面ACDF⊥平面ABC，
CD⊥AC
CD⊥平面ABC
CD⊥BC
所以：BC⊥平面ACDF
则：BC⊥AD
（Ⅱ）取AC的中点N，连接MN和DN，BC=2DE，DE∥BC，M为AB的中点．
所以：NM∥DE，MN=DE
所以：四边形MEDN是平行四边形．
则：ME∥DN
ME?平面ACDF
DN?平面ACDF
所以：EM∥平面ACDF

点评：本题考查的知识要点：线面垂直面面垂直与线线垂直之间的相互转化，线面平行的判定定理得应用，三角形中位线定理的应用．