Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

（sin²x-cos²x）+

2

；
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若存在t∈[

π

12

，

π

3

]满足[f（t）]²-2

2

f（t）-m=0，求实数m的取值范围；
（3）求证：任意的x₁∈[-

π

6

，

π

3

]，存在唯一的x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使f（x₁）•f（x₂）=1成立．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角函数的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期．
（2）利用正弦型函数的定义域求出函数的值域，进一步利用存在性问题求出函数中参数的取值范围．
（3）利用函数具备严格的单调性来进行证明．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

（sin²x-cos²x）+

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

2

=sin（2x-

π

6

）+

2

，
所以函数的最小正周期为；T=π；
（2）由于t∈[

π

12

，

π

3

]，
所以：2t-

π

6

∈[0，

π

2

]，
设：F（x）=[f（t）]²-2

2

f（t）=（f（t）-

2

）²-2∈[-2，-1]，
存在t∈[

π

12

，

π

3

]满足[f（t）]²-2

2

f（t）-m=0，
所以：m的取值范围为：m∈[-2，-1]
（3）对任意的x₁∈[-

π

6

，

π

3

]，存在唯一的x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使f（x₁）•f（x₂）=1成立，
当x1∈[-

π

6

，

π

3

]时，使f（x₁）f（x₂）=1成立．
当x1∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x1-

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，
所以：f(x1)=sin(2x1-

π

6

)+

2

∈[

2

-1，

2

+1]，
f(x2)=

1

f(x1)

=sin(2x2-

π

6)

）+

2

∈[

2

-1，

2

+1]．
则：sin(2x2-

π

6

)=

1

f(x1)

-

2

∈[-1，1]，
设：

1

f(x1)

-

2

=a（a∈[-1，1]），
由sin(2x2-

π

6

)=a．
解得：2x2-

π

6

=2kπ+arcsina或2x2-

π

6

=2kπ+π-arcsina，
所以x₂的解集为：{x₂|x2=kπ+

1

2

arcsina+

π

12

或x2=kπ-

1

2

arcsina+

7π

12

}（k∈Z）．
由于-

π

6

≤

1

2

arcsina+

7π

12

≤

π

3

，
所以：

π

3

≤-

1

2

arcsina+

7π

12

≤

5π

6

，
由于函数在此区间内有严格的单调性．
所以：存在唯一的x₂∈[-

π

6

，

π

3

]，使f（x₁）•f（x₂）=1成立．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期，存在性问题的应用，利用函数的单调性正面函数的唯一解．