Question

已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）+1（x∈R，ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角函数的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步利用函数的最小正周期求出函数的解析式．
（2）利用（1）求出的函数解析式进一步求出函数的最值．

解答： 解：（1）函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）+1
=

1

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

+1
=

1

2

(sin2ωx+cos2ωx)+

3

2

=

2

2

sin(2ωx+

π

4

)+

3

2

函数的最小正周期是π
所以：T=

2π

2ω

=π
解得：ω=1
所以函数的解析式为f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

（2）由（1）得到：f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

令2x+

π

4

=2kπ+

π

2

解得：x=kπ+

π

8

（k∈Z）
当{x|x=kπ+

π

8

}（k∈Z）时，函数取最大值

2 +3

2

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期求函数的解析式，求函数的最值．