Question

过双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若

CA

=2

AB

，则双曲线的离心率是（　　）

• A、

  5

• B、

  5

  4

• C、

  10

• D、

  10

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线AB的方程，联立双曲线的渐近线方程，解得交点B，C，再由向量的坐标和向量共线的坐标表示，即可得到a=3b，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上顶点A为（0，a），
直线AB：y=x+a，
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=

a

b

x，
可得交点C（

ab

a-b

，

a2

a-b

），
由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=-

a

b

x，
可得交点B（-

ab

a+b

，

a2

a+b

）．
由

CA

=2

AB

，可得
（

ab

b-a

，

ab

b-a

）=2（

-ab

a+b

，

-ab

a+b

），
即有

ab

b-a

=-

2ab

a+b

，
即2b-2a=-a-b，
即a=3b，
则c=

a2+b2

=

a2+ a2 9

=

10

3

a，
则e=

c

a

=

10

3

．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，及离心率的求法，同时考查向量共线定理的运用，联立直线方程求得交点B，C是解题的关键．