Question

5．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，满足f（x+3）=f（x），f（-2）=-3，数列{a_n}满足a₁=-1，且前n项和S_n满足$\frac{S_n}{n}=2×\frac{a_n}{n}+1$，则f（a₅）+f（a₆）=（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． 0
• D． 6

Answer 1

分析 可由$\frac{{S}_{n}}{n}=2×\frac{{a}_{n}}{n}+1$得到S_n=2a_n+n，从而可得出a_n=2a_n-1-1，这样即可求出a₅=-31，a₆=-63，而由f（x+3）=f（x）可知f（x）的周期为3，从而可以得出f（a₅）+f（a₆）=f（2）+f（0），而由条件可以得出f（2）=3，f（0）=0，从而便可得出f（a₅）+f（a₆）的值．

解答 解：由$\frac{{S}_{n}}{n}=2×\frac{{a}_{n}}{n}+1$得，S_n=2a_n+n；
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-2a_n-1-n+1；
∴a_n=2a_n-1-1，又a₁=-1；
∴a₂=-3，a₃=-7，a₄=-15，a₅=-31，a₆=-63；
由f（x+3）=f（x）知，f（x）的周期为3，且f（-2）=-3，f（0）=0，f（x）为R上的奇函数；
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f[2+3×（-11）]+f[0+3×（-21）]=f（2）+f（0）=3．
故选：A．

点评 考查数列前n项和的定义，知道a_n=S_n-S_n-1，以及周期函数的定义，奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0．