Question

9．已知动圆过定点（0，1），且直线y=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）过轨迹C上一点M（2，n）作倾斜角互补的两条M线，分别与C交于异于M的A，B两点，求证：直线AB的斜率为定值：
（3）如果A，B两点的横坐标均不大于0，求△MAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知，动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切，可得圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等，根据抛物线的定义可得动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）由题意，M（2，1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由K_AM=-k_BM可得x₁+x₂=-4，即可证明直线AB的斜率为定值；
（3）求出点M到AB的距离，|AB|，可得面积，即可求△MAB面积的最大值．

解答 （1）解：∵动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切
故圆心到点P（0，1）的距离等于半径，
且圆心到直线y=-1的距离等于半径，
即圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等
圆心轨迹M是以P（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
故它的方程是x²=4y；
（2）证明：由题意，M（2，1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由K_AM=-k_BM可得$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$=-$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，即$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4（{x}_{1}-2）}$=-$\frac{{{x}_{2}}^{2}-4}{4（{x}_{2}-2）}$，
即x₁+x₂=-4，
∴K_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）=-1；
（3）解：AB的方程为：y-y₁=-（x-x₁），即x+y+x₁-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=0，
点M到AB的距离d=$\frac{|3+{x}_{1}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}|}{\sqrt{2}}$，
|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$|2x₁+4|，
设2x₁+4=t（t≤4），则△MAB面积S=$\frac{1}{2}$•|t|•$\frac{{t}^{2}}{16}$≤2，
∴△MAB面积的最大值为2．

点评 本题主要考查了抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系的应用，要求考试具备一定的计算与推理的能力，试题具有一定的综合性．