Question

20．已知抛物线C的顶点在坐标原点且关于x轴对称，直线x-y+1=0与C有唯一的公共点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知直线l与C交于A，B两点，点M（1，t）在线段AB上，又点P的坐标为（1，2），若△PAM与△PBM的面积之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，问：l的斜率是否为定值？若是则求此定值，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0），与直线x-y+1=0联立可得：x²+（2-2p）x+1=0，利用直线与抛物线相切的性质可得△=0，解得p即可得出．
（2）由△PAM与△PBM的面积之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，可得直线x=1是∠AMB的平分线，因此直线PA与PB的斜率存在且k_PA=-k_PB．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用斜率计算公式可得：k_PA，k_PB．由于点A，B在抛物线上，${y}_{1}^{2}$=4x₁，${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$，代入化简可得：y₁+y₂=-4．又${y}_{1}^{2}$-${y}_{2}^{2}$=4（x₁-x₂），k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，代入即可得出．

解答 解：（1）由题意可设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0），与直线x-y+1=0联立可得：x²+（2-2p）x+1=0，
∵直线x-y+1=0与C有唯一的公共点，∴△=（2-2p）²-4=0，
解得p=2．∴抛物线的方程为：y²=4x．
（2）∵△PAM与△PBM的面积之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，
∴直线x=1是∠APB的平分线，∴直线PA与PB的斜率存在且k_PA=-k_PB．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k_PA=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$，
k_PB=$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$，（x₁，x₂≠1）．
由于点A，B在抛物线上，∴${y}_{1}^{2}$=4x₁，${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1}$=-$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1}$，化为：y₁+y₂=-4．
又${y}_{1}^{2}$-${y}_{2}^{2}$=4（x₁-x₂），∴k_l=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1．
∴l的斜率定值-1．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与相切问题问题转化为一元二次方程的判别式与0的关系、斜率计算公式、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．