Question

15．已知动点P到直线l：x=-1的距离等于它到圆C：x²+y²-4x+1=0的切线长（P到切点的距离），记动点P的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，问是否存在常数λ使得|AC|•|BC|=λ|OC|²？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），则|x+1|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}-3}$，由此能求出曲线E的方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为my=x-2，则直线CQ的方程为y=-m（x-2），将my=x-2代入y²=6x，得：y²-6my-12=0，由此利用韦达定理能求出存在常数λ使得|AC|•|BC|=λ|OC|²，并能求出λ的值，

解答 解：（Ⅰ）由已知得圆心为C（2，0），半径r=$\sqrt{3}$，
设P（x，y，），∵动点P到直线l：x=-1的距离等于
它到圆C：x²+y²-4x+1=0的切线长（P到切点的距离），
∴|x+1|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}-3}$，整理，得y²=6x，
∴曲线E的方程为y²=6x．
（Ⅱ）设直线AB的方程为my=x-2，
则直线CQ的方程为y=-m（x-2），
解得Q（-1，3m），
∴|AC|•|BC|=（1+m²）|y₁y₂|=12（1+m²），|QC|²=9（1+m²），
∴|AC|•|BC|=$\frac{4}{3}$|QC|²．
∴λ=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、两点间距离公式的合理运用．