Question

7．设函数f（x）=e^x+ln（x+1）-ax．
（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，f（x）的定义域为（-1，+∞），$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-2$，记$g（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-2$，则$g'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}$，分类讨论，即可证明：函数f（x）在定义域内单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，分类讨论，利用当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．

解答 （Ⅰ）证明：f（x）的定义域为（-1，+∞），$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-2$…（1分）
记$g（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-2$，则$g'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}$
当x＞0时，e^x＞1，$\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}＜1$，此时g'（x）＞0…（2分）
当x＜0时，e^x＜1，$\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}＞1$，此时g'（x＜0…（3分）
所以f'（x）在（-1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，…（4分）
故f'（x）≥f'（0）=0，从而f（x）在（-1，+∞）上递增…（5分）
（Ⅱ）解：$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$，由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，
所以当a≤2时，f'（x）≥f'（0）=2-a≥0，所以f（x）在[0，+∞）上递增…（6分）
故f（x）≥f（0）=1≥cosx恒成立…（7分）
当a＞2时，记φ（x）=f（x）-cosx，则$φ'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a+sinx$
记$h（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}-a+sinx$，则$h'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（x+1）}^2}}}+cosx$
当x＞1时，$h'（x）＞e-\frac{1}{4}-1$…（8分）
显然0≤x＜1时，h'（x）＞0，从而φ'（x）在[0，+∞）上递增…（9分）
又φ'（0）=2-a＜0，则存在x₀∈（0，+∞），使得φ'（x₀）=0…（10分）
所以φ（x）在（0，x₀）上递减，所以当x∈（0，x₀）时，φ（x）＜φ（0）=0，
即f（x）＜cosx，不符合题意…（11分）
综上，实数a的取值范围是a≤2…（12分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．