Question

19．已知圆C：x²+（y-3）²=6，直线1：mx-y+1=0
（1）若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
（2）若曲线C的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程．

Answer 1

分析 （1）设出A，B，M的坐标，联立直线方程和圆的方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式可得M的坐标与m的关系，消参可得弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，然后分圆的切线过原点和不过原点讨论，再由点到直线的距离公式列式求出待定系数法，则切线方程可求．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
联立$\left\{\begin{array}{l}{mx-y+1=0}\\{{x}^{2}+（y-3）^{2}=6}\end{array}\right.$，得（1+m²）x²-4mx-2=0．
则$x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{2m}{1+{m}^{2}}$，
由点M（x，y）在直线mx-y+1=0上，当x≠0时，m=$\frac{y-1}{x}$，代入$x=\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，
得x²+（y-1）²=2（y-1），整理得：x²+y²-4y+3=0．
当x=0时，y=1，上式成立．
∴弦AB的中点M的轨迹方程为：x²+y²-4y+3=0；
（2）圆C：x²+（y-3）²=6的圆心坐标C（0，3），半径为$\sqrt{6}$，
若切线过原点，设为y=kx，则$\frac{|-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{6}$，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$；
若切线不过原点，设切线方程为x+y=a，则
$\frac{|1×0+1×3-a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$，解得a=3$±2\sqrt{3}$．
∴切线方程为y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x$，x+y=3+$2\sqrt{3}$，x+y=3-$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，训练了代入法求轨迹方程，是中档题．