Question

5．已知方程x²+y²-2mx-4y+5m=0的曲线是圆C．
（1）求m的取值范围；
（2）当m=-2时，求圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长；
（3）若圆C与直线2x-y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求m的值．

Answer 1

分析 （1）圆的方程化为标准形式，利用右侧大于0，即可求m的取值范围；
（2）当m=-2时，求出圆的圆心与半径利用圆心到直线的距离，半径，半弦长满足勾股定理，求圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长；
（3）若圆C与直线2x-y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，得到$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，设M
（x₁，y₁），N（x₂，y₂），推出x₁x₂+y₁y₂=0，联立 由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2mx-4y+5m=0}\\{2x-y+1=0}\end{array}\right.$，推出x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，即可求得m的值．

解答 解：（1）方程x²+y²-2mx-4y+5m=0化为：（x-m）²+（y-2）²=m²-5m+4的曲线是圆，
∴m²-5m+4＞0  
解得：m＜1或m＞4；
（2）设m=-2，圆心为C（-2，2），半径r=3$\sqrt{2}$，
圆心到直线的距离为d=$\frac{|-4-2+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\sqrt{5}$，
圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长为：2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{18-5}=2\sqrt{13}$；
（3）以MN为直径的圆过坐标原点O，即OM⊥ON
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2mx-4y+5m=0}\\{2x-y+1=0}\end{array}\right.$，
整理得：5x²-（2m+4）x+5m-3=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{5}（m+2）}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{5}（5m-3）}\end{array}\right.$，
∴x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，
即5m-3+$\frac{4}{5}$（m+2）+1=0，
m=$\frac{2}{29}$．
经检验，此时△=（2m+4）²-20（5m-3）＞0，
∴m=$\frac{2}{29}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的标准方程的应用，考查设而不求的解题方法，考查计算能力，是中档题．