Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ （a+4）x²+（3a+5）x-（2a+2）lnx．  
（1）若a＜-1，且F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ （a+5）x²-（2a+6）x，试讨论函数F（x）的单调性；
（2）已知g（x）=f′（x）+$\frac{2a+2}{x}$，若不等式g（x）≥$\frac{2}{3}$lnx+3a+$\frac{14}{3}$对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题等价于等价于3（a+4）≤3x+$\frac{4}{x}$-4lnx，令G（x）=3x+$\frac{4}{x}$-4lnx，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，解关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）F（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x-（2a+2）lnx，且x＞0，
F′（x）=x+（a-1）-$\frac{2a+2}{x}$=$\frac{（x-2）[x+（a+1）]}{x}$，
令F′（x）=0，得x=2或x=-a-1，且2-（a-1）=a+3，
①当-3＜a＜-1时，若0＜x＜-a-1或x＞2，则F′（x）＞0，
若-a-1＜x＜2，则F′（x）＜0，
所以F（x）的递增区间为（0，-a-1）、（2，+∞），递减区间为（-a-1，2）；
②当a=-3时，F′（x）=$\frac{{（x-2）}^{2}}{x}$≥0，所以F（x）的递增区间为（0，+∞）；
③当a＜-3时，若0＜x＜2或x＞-a-1，则F′（x）＞0；
若2＜x＜-a-1，则F′（x）＜0；
所以F（x）的递增区间为（0，2）、（-a-1，+∞），递减区间为（2，-a-1）；
（2）由函数解析式知函数定义域为x＞0，
且f′（x）=x²-（a+4）x+（3a+5）-$\frac{2a+2}{x}$，
所以g（x）=f′（x）+$\frac{2a+2}{x}$=x²-（a+4）x+（3a+5），
则不等式g（x）≥$\frac{4}{3}$xlnx+3a+$\frac{11}{3}$
等价于x²-（a+4）x+（3a+5）≥$\frac{4}{3}$xlnx+3a+$\frac{11}{3}$，
即3（a+4）≤3x+$\frac{4}{x}$-4lnx，
由题意，知不等式3（a+3）≤3x+$\frac{4}{x}$-4lnx对一切x∈（0，+∞）恒成立，
令G（x）=3x+$\frac{4}{x}$-4lnx，则G′（x）=$\frac{（3x+2）（x-2）}{{x}^{2}}$，
因为x＞0，则当0＜x＜2时，G′（x）＜0；当x＞2时，G′（x）＞0，
所以当x=2时，G（x）取得最小值G（x）_min=8-4ln2，
所以3（a+4）≤8-4ln2，解得a≤-$\frac{4+4ln2}{3}$，
故实数a的取值范围（-∞，-$\frac{4+4ln2}{3}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道中档题．