Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点$（\sqrt{2}，1）$，直线y=k（x-1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，MN中点为P，O为坐标原点，直线OP斜率为$-\frac{1}{2k}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C的右顶点为A，当△AMN得面积为$\frac{\sqrt{10}}{3}$时，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断点（1，0），在椭圆内，交点设为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），表示出斜率，利用平方差法推出斜率关系，得到a²=2b²，利用点在椭圆是得到$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得a²，b²，求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）联立y=k（x-1）与椭圆C，利用弦长公式，表示出△AMN面积，化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题可得直线过点（1，0），在椭圆内，
所以与椭圆一定相交，
交点设为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，OP斜率为$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$，
所以$\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\frac{1}{2}$，┅┅┅┅┅┅┅（3分）
又$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$，$\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$，所以$\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0$，
所以a²=2b²，又$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得a²=4，b²=2，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；
椭圆C的右顶点为A（2，0），直线过点P（1，0），|AP|=1．
y=k（x-1）与椭圆C联立得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，┅┅┅┅┅┅┅（8分），
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
△AMN面积为：$\frac{1}{2}|AP|•|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}|{y_1}-{y_2}|=\frac{|k|}{2}|{x_1}-{x_2}|=\frac{|k|}{2}\frac{{\sqrt{8（2+3{k^2}）}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{3}$，
解得k=±1．┅┅┅┅┅┅┅（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，三角形的面积的解法，点到直线的距离公式，考查转化思想以及计算能力．