Question

16．如图1，△ACB为等腰直角三角形，AC=BC，AC⊥BC，点E、F分别在BC上，且CE=BF，CM⊥AE，AE与MF的延长线相交于N点
（1）求证：∠BMF=∠AMC
（2）如图2，若CM为AN的垂直平分线，MF与AE的延长线交于N点，求证：BM+CM=MN．
（3）若AC=2+$\sqrt{3}$，在（2）的条件下．求EF的长．

Answer 1

分析 （1）过B做BD⊥CM，交CM的延长线于点D，证明△BMF≌△BMD，即可证明：∠BMF=∠AMC
（2）过C作CO⊥AB，垂足为O．设AC=a，则AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AB=$\sqrt{2}$a，求出MB=AB-AO-MO=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a，MN=MA=AB-MB=AO+MO=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a，即可证明结论；
（3）利用△AMC∽△BMD，即可得出结论．

解答 （1）证明：过B做BD⊥CM，交CM的延长线于点D，
∵CM⊥AN，AC⊥BC，
∴∠CAE=∠DCB．
∵BC=AC，∠CBD=∠AEC=90°，
∴△CAE≌△BCD，
∴BD=CE，
∴BD=BF，
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD=90°-45°=∠ABC，
∵BM=BM，
∴△BMF≌△BMD，
∴∠BMF=∠BMD=∠AMC；
（2）证明：过C作CO⊥AB，垂足为O．
设AC=a，则AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AB=$\sqrt{2}$a，
∵CM为AN的垂直平分线，
∴MA=MN，∴∠AMC=∠NMC，
∵∠AMC=∠BMN，
∴∠AMC=∠BMN=∠NMC=60°，
∴MO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，MC=2MO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴MB=AB-AO-MO=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a，
MN=MA=AB-MB=AO+MO=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a，
∴MN=MB+MC=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{6}$）a．
（3）解：∵△AMC∽△BMD，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{MB}{MA}$=2-$\sqrt{3}$，
∴BD=（2-$\sqrt{3}$）a=1，
∴CE=BF=BD=1，
∴EF=BC-CE-BF=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形全等的证明，性质的运用，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．