Question

11．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在C₁C上，且C₁E=3EC．
（1）证明A₁C⊥平面BED；
（2）求平面A₁DE与平面BDE的夹角余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，建立空间直角坐标系，只要证明：$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DE}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DB}$=0，即可得出A₁C⊥平面BED．
（2）由（1）可得平面BDE的一个法向量：$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），设平面A₁DE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{D{A}_{1}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{D{A}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系．
D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4），
∴$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DE}$=0+4-4=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DB}$=-4+4=0，
DE∩DB=D，
∴A₁C⊥平面BED．
（2）解：由（1）可得平面BDE的一个法向量：$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，4），
设平面A₁DE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+4z=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（-4，-1，2），
∴$cos＜\overrightarrow{D{A}_{1}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{D{A}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{24}×\sqrt{21}}$=$-\frac{\sqrt{14}}{42}$．
∴平面A₁DE与平面BDE的夹角余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{42}$．

点评 本题考查了空间位置关系空间角、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、正方形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．