Question

14．设n∈N^*，函数f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$，函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$（x＞0）．
（1）当n=1时，求函数y=f（x）的零点个数；
（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象分别位于直线y=1的两侧，求n的取值集合A；
（3）对于?∈A，?x₁，x₂∈（0，+∞），求|f（x₁）-g（x₂）|的最小值．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），确定函数的单调性，即可求函数y=f（x）的零点个数；
（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象分别位于直线y=1的两侧，?n∈N^*，函数f（x）有最大值f（${e}^{\frac{1}{n}}$）=$\frac{1}{ne}$＜1，即f（x）在直线l：y=1的上方，可得g（n）=$（\frac{e}{n}）^{n}$＞1求n的取值集合A；
（3）?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-g（x₂）|的最小值等价于$（\frac{e}{n}）^{n}-\frac{1}{ne}$，发布网球场相应的函数值，比较大小，即可求|f（x₁）-g（x₂）|的最小值．

解答 解：（1）当n=1时，f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），
由f′（x）＞0，可得0＜x＜e，f′（x）＜0，可得x＞e，
∴函数f（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）上单调递减，
∵f（e）=$\frac{1}{e}$＞0，f（$\frac{1}{e}$）=-e＜0，
∴函数f（x）在（0，e）上存在一个零点，
x∈（e，+∞），f（x）=$\frac{lnx}{x}$＞0恒成立，
∴函数f（x）在（e，+∞）上不存在零点，
综上所述，函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；
（2）f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$，∴f′（x）=$\frac{1-nlnx}{{x}^{n+1}}$（x＞0），
由f′（x）＞0，可得0＜x＜${e}^{\frac{1}{n}}$，f′（x）＜0，可得x＞${e}^{\frac{1}{n}}$，
∴函数f（x）在（0，${e}^{\frac{1}{n}}$）上单调递增，（${e}^{\frac{1}{n}}$，+∞）上单调递减，
∴x=${e}^{\frac{1}{n}}$时，函数f（x）有最大值f（${e}^{\frac{1}{n}}$）=$\frac{1}{ne}$．
由g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$（x＞0），得g′（x）=$\frac{（x-n）{e}^{x}}{{x}^{n+1}}$（x＞0），
由g′（x）＞0，可得x＞n，g′（x）＜0，可得0＜x＜n，
∴函数f（x）在（0，n）上单调递减，（n，+∞）上单调递增，
∴x=n时，函数g（x）有最小值g（n）=$（\frac{e}{n}）^{n}$，
∵?n∈N^*，函数f（x）有最大值f（${e}^{\frac{1}{n}}$）=$\frac{1}{ne}$＜1，即f（x）在直线l：y=1的上方
∴g（n）=$（\frac{e}{n}）^{n}$＞1，
∴n＜e，
∴A={1，2}；
（3）?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-g（x₂）|的最小值等价于$（\frac{e}{n}）^{n}-\frac{1}{ne}$．
n=1时，$（\frac{e}{n}）^{n}-\frac{1}{ne}$=e-$\frac{1}{e}$．n=2时，$（\frac{e}{n}）^{n}-\frac{1}{ne}$=$\frac{{e}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2e}$．
∵（e-$\frac{1}{e}$）-（$\frac{{e}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2e}$）=$\frac{{e}^{2}（4-e）-2}{4e}$＞0，
∴|f（x₁）-g（x₂）|的最小值为$\frac{{e}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．