Question

6．设函数f（x）=|x+3|-|x-1|．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）+2|x-1|≥m对任意的实数x均成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥0等价于|x+3|≥|x-1|即（x+3）²≥（x-1）²，即可解不等式f（x）≥0；
（2）要使f（x）+2|x-1|≥m对任意的实数x均成立，则[f（x）+2|x-1|]_min≥m即可．

解答 解：（1）由f（x）≥0等价于|x+3|≥|x-1|即（x+3）²≥（x-1）²
化简得：8x≥-8，解得：x≥-1，即原不等式的解集为：{x|x≥-1}
（2）∵f（x）+2|x-1|=|x+3|+|x-1|≥4，
要使f（x）+2|x-1|≥m对任意的实数x均成立，则[f（x）+2|x-1|]_min≥m
所以m≤4；

点评 本题考查了绝对值不等式的解法和其几何意义的运用，考查绝对值不等式，属于中档题．