Question

18．已知a≥-2，函数f（x）=$\frac{x-a}{sinx+2}$（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）：
（Ⅰ）若a=π，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，二次求导，得到函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，构造函数h（x）=2+sinx-（x-a）cosx，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）若a=π，则$f（x）=\frac{x-π}{sinx+2}（x∈[0，\frac{π}{2}]）$，
$f'（x）=\frac{2+sinx-（x-π）cosx}{{{{（sinx+2）}^2}}}$，
令g（x）=2+sinx-（x-π）cosx，g'（x）=（x-π）sinx＜0，
所以g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$单调递减，且有$g（\frac{π}{2}）=3＞0$，
所以f'（x）＞0，函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上单调递增；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{2+sinx-（x-a）cosx}{{{{（sinx+2）}^2}}}$，
令h（x）=2+sinx-（x-a）cosx，h'（x）=（x-a）sinx，
1）当$a∈（0，\frac{π}{2}）$，x=a是函数g（x）的极小值点，也是最小值点，
∵g（a）=2+sina＞0，
∴函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上单调递增，${f_{max}}=f（\frac{π}{2}）=\frac{{\frac{π}{2}-a}}{3}$；
2）当$a∈[\frac{π}{2}，+∞）$，h'（x）＜0，
函数h（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上递减，$h（\frac{π}{2}）=3＞0$，
所以函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上单调递增，
当$x=\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值$f（{\frac{π}{2}}）=\frac{π}{6}-\frac{a}{3}$；
3）当a∈[-2，0]时h'（x）＞0，h（0）=2+a，h（0）≥0，
所以函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上递增，
当$x=\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值$f（{\frac{π}{2}}）=\frac{π}{6}-\frac{a}{3}$；
综上所述，当a≥-2时，函数f（x）的最大值为$f（{\frac{π}{2}}）=\frac{π}{6}-\frac{a}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．