Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两焦点为${F_1}（{-\sqrt{2}，0}），{F_2}（{\sqrt{2}，0}）$，且过点$Q（\sqrt{2}，\;1）$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l交椭圆于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰好过原点，求出直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，然后求解b，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2（k≠0）．M，N两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．联立方程：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，利用韦达定理通过$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，所以x₁x₂+y₁y₂=0，求出，k即可推出结果．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得2a=AC+BC
=$\sqrt{（\sqrt{2}-（-\sqrt{2}））^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{（\sqrt{2}-\sqrt{2}）^{2}+（1-0）^{2}}$
=4$＞2\sqrt{2}$…（2分）
∴a=2∴b²=a²-c²=4-2=2．
∴椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2（k≠0）．
设M，N两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
联立方程：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$…（5分）
消去y整理得，（1+2k²）x²+8kx+4=0
有${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{1+2{k^2}}}$…（7分）
若以MN为直径的圆恰好过原点，则$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，所以x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）
所以，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0…（9分）
所以，$\frac{{4（{1+{k^2}}）}}{{1+2{k^2}}}-\frac{{16{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+4=0$
即$\frac{{8-4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$，…（10分）
得k²=2，k=$±\sqrt{2}$，
所以直线l的方程为$y=\sqrt{2}x+2$，或$y=-\sqrt{2}x+2$．
所以过P（0，2）的直线l：$y=±\sqrt{2}x+2$，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点．…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．