Question

已知函数f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)
（1）写出此函数f（x）的周期、值域；     
（2）求出f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（3）比较f（

π

7

）与f（

π

5

）的大小．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的周期公式，算出f（x）的周期T=4π．再由正弦函数的最大值为1、最小值为-1，即可得出函数f（x）的值域．
（2）由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式，算出f（x）在R上的增区间为[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），再取k=0，将得到的区间与[0，2π]求交集，可得f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．
（3）由

π

7

＜

π

5

为区间[0，

π

3

]内的数，利用（2）的结论可得f（

π

7

）与f（

π

5

）的大小关系．

解答：解：（1）∵函数f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)中ω=

1

2

，
∴函数f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π，
又∵sin(

1

2

x+

π

3

)的最大值为1，最小值为-1，
∴f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)的最大值为2，最小值为-2，可得函数的值域为[-2，2]．
（2）令

1

2

x+

π

3

=z，
∵函数y=sinz的单调递增区间[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]（k∈Z），
∴由-

π

2

+2kπ≤z≤

π

2

+2kπ，即-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解之得-

5π

3

+4kπ≤x≤

π

3

+4kπ（k∈Z），
设A=[0，2π]，B=﹛x|-

5π

3

+4kπ≤x≤

π

3

+4kπ，k∈Z﹜
取k=0，得B=[-

5π

3

，

π

3

]，可得A∩B=[0，

π

3

]，
∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是[0，

π

3

]．
（3）由（2）的结论，可知函数f（x）在[0，

π

3

]上是增函数，
∵0＜

π

7

＜

π

5

＜

π

3

，∴f（

π

7

）＜f（

π

5

）．

点评：本题给出正弦型三角函数，求函数的周期与值域，并求在[0，2π]上的单调增区间．着重考查了三角函数的周期公式、三角函数的值域与单调性及其应用等知识，属于中档题．