Question

【题目】如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．
（1）求证：PE⊥BD；
（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD是AC边上的高，

∴BD⊥CD，BD⊥PD，

又PD∩CD=D，

∴BD⊥平面PCD，

又PE平面PCD中，

∴BD⊥PE，即PE⊥BD

（2）解：如图所示，

连接BE，交DM与点F，

∵PE∥平面DMN，

∴PE∥NF，

又点N为PB中点，

∴点F为BE的中点；

∴DF= BE=EF；

又∠BCD=90°﹣60°=30°，

∴△DEF是等边三角形，

设DE=a，则BD= a，DC= BD=3a；

∴ = = ．

【解析】（1）由BD是AC边上的高，得出BD⊥CD，BD⊥PD，由此证明BD⊥平面PCD，即可证明PE⊥BD；（2）连接BE，交DM与点F，由PE∥平面DMN，得出PE∥NF，证明△DEF是等边三角形，再利用直角三角形的边角关系求出 的值即可．
【考点精析】掌握直线与平面平行的性质是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行．