Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且4Sn=（an+1）2（n∈N+）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{ }的前n项和，证明： ≤Tn＜1（n∈N+）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，4a1=（a1+1）2 ， 解得：a1=1， 当n≥2时，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ， 4Sn=（an+1）2 ，
两式相减得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
∵an＞0，
∴an﹣an﹣1=2，
∴数列{an}是以2为公差，以1为首项的等差数列，
∴an=2n﹣1；
证明：（Ⅱ） = = ﹣ ，
∴Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ），
=1﹣ ，
∴Tn＜1，
＞0，
∴Tn≥T1= ．
∴ ≤Tn＜1（n∈N+）
【解析】（Ⅰ）当n=1时，即可求得a1=1，当n≥2时，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2 ， 4Sn=（an+1）2 ， 两式相减可得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，可知：an﹣an﹣1=2，数列{an}是以2为公差，以1为首项的等差数列，即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ） = ﹣ ，根据“裂项法”即可求得Tn=1﹣ ，Tn＜1，由Tn≥T1= ．即可证明 ≤Tn＜1（n∈N+）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．