Question

（2011•邢台一模）已知两点M、N分别在直线y=mx与直线y=-mx（m＞1）上运动，且|MN|=2．动点P满足2

OP

=

OM

+

ON

（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）过点（0，1）作直线l与曲线C交于不同的两点A、B．若对任意m＞1，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由动点P满足2

OP

=

OM

+

ON

可知P为MN的中点，设出P点，M点和N点的坐标，由P为MN的中点，M、N分别在直线y=mx与直线y=-mx（m＞1）上，且|MN|=2联立列式可求曲线C的方程；
（Ⅱ）经分析可知直线l的斜率存在，设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两个交点横纵坐标的和与积，要使∠AOB为锐角，则

OA

•

OB

＞0，把坐标代入后得到直线的斜率k与m的不等式，由m的范围可以确定出k的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵2

OP

=

OM

+

ON

，∴P为MN的中点．
设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x1+x2=2x mx1-mx2=2y (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=22

，∴

x2

1 m2

+

y2

m2

=1(m＞1)；
（Ⅱ）曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，∵m＞1，故点（0，1）在椭圆内，
∴直线l与曲线C恒有两个交点．
显然直线l的斜率不存在时不合题意，可设直线方程为y=kx+1．
由

y=kx+1 m2x2+ y2 m2 =1

，得（m⁴+k²）x²+2kx+1-m²=0．
∴x1+x2=-

2k

m4+k2

，x1x2=

1-m2

m4+k2

．
y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=

k2(1-m2)

m4+k2

+

-2k2

m4+k2

+1．
要使∠AOB为锐角，则

OA

•

OB

＞0．
∴x1x2+y1y2=

m4-(k2+1)m2+1

m4+k2

＞0．
m⁴-（k²+1）m²+1＞0．
得出m2+

1

m2

＞k2+1，若对任意m＞1恒成立，只需-1≤k≤1．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的根与系数关系，体现了“设而不求”的解题思想，考查了学生的运算能力，是难题．