Question

下列命题是真命题的有

 

①若m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x²+

y2

m

=1的离心率为

3

2

或

5

；
②若过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
③已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点M（3，0），则椭圆的标准方程是 

x2

9

+

y2

81

=1；
④若x²+y²=2，则2^x+y的最大植为4；
⑤直线l：x-2y+2=0过椭圆的左焦点F₁和一个顶点B，该椭圆的离心率为

2

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①由等比中项的概念求得m值，分类求解圆锥曲线的离心率；
②由题意求出一个焦点坐标，由点到直线的距离公式求出焦点到一条渐近线的距离，由勾股定理求解|OM|；
③分别设出两种形式的标准方程，代入点的坐标求解椭圆的标准方程；
④由圆的参数方程得到x，y，求出x+y的最大值，则答案可求；
⑤求出直线在两坐标轴上的截距，得到b，c的值，进一步求得a的值，则椭圆的离心率可求．

解答： 解：①若m是两个正数2，8的等比中项，则m²=16，m=±4．
当m=4时，a2=4，b2=1，c=

4-1

=

3

，e=

3

2

．
当m=-4时，a2=1，b2=4，c=

1+4

=

5

，e=

5

．
则圆锥曲线x²+

y2

m

=1的离心率为

3

2

或

5

，命题①为真命题；
②过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F（c，0），作它的一条渐近线bx-ay=0的垂线，
垂足为M，O为坐标原点，则|FM|=

|bc|

a2+b2

=b，|OM|=

c2-b2

=a，命题②为真命题；
③已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，当焦点在x轴时，设椭圆方程为

x2

9m2

+

y2

m2

=1，代入M（3，0），
得

9

9m2

=1，m²=1，椭圆方程为

x2

9

+y2=1．
当焦点在y轴时，设椭圆方程为

x2

m2

+

y2

9m2

=1，代入M（3，0），得

9

m2

=1，m²=9．
则椭圆的标准方程是

x2

9

+y2=1或

x2

9

+

y2

81

=1，命题③为假命题；
④若x²+y²=2，令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，则x+y=2sin（θ+

π

4

），（x+y）_max=2，2^x+y的最大植为4，
命题④正确；
⑤直线l：x-2y+2=0过椭圆的左焦点F₁和一个顶点B，则c=2，b=1，a=

1+4

=

5

，该椭圆的离心率为

2

5

=

2 5

5

，命题⑤错误．
∴真命题有①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的性质，训练了函数最值得求法，考查了学生综合解决问题的能力，是中高档题．