Question

【题目】某公园有个池塘，其形状为直角△ABC，，AB的长为2百米，BC的长为1百米.

（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（1），使得，，在△DEF内喂食，求当△DEF的面积取最大值时EF的长；

（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，记，求△DEF边长的最小值及此时的值.（精确到1米和0.1度）

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值是65米，

【解析】

（1）设EF＝x，则可求CE，BE，DE，求得S△DEFx（1），x∈（0，2），由基本不等式可得：（1）（）2当且仅当x＝1时等号成立，从而可求当△DEF的面积取最大值时EF的长；

（2）设等边三角形边长为EF＝ED＝DF＝y，在△EBD中，由正弦定理及三角函数的性质可得y0.65，即可求得△DEF边长的最小值及此时α的值．

（1）设，则，故，所以，S△DEF，，

因为S△DEF当且仅当（即EF长100米）时等号成立，

即（S△DE）max.

（2）设等边三角形边长为，在△EBD中，，，

由题意可知，则，所以，

即，即△DEF边长的最小值是65米，

此时，，