Question

19．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，O为△ABC的外心．
（1）若b=2，求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$的值；
（2）已知${S_{△ABC}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，b=2，c=3，求$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）设外接圆半径为R，由题意和余弦定理求出cos∠CAO，由向量的数量积运算求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$的值；
（2）利用三角形的面积公式和条件求出sinA，由△ABC为锐角三角形、特殊角的正弦值求出∠BAC，由余弦、正弦定理求出a和R，由圆的性质和∠BAC求出∠BOC，由向量的数量积运算求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$的值．

解答 解：（1）设外接圆半径为R，在△AOC中，且b=2，
由余弦定理得，cos∠CAO=$\frac{|AC{|}^{2}+|AO{|}^{2}-|CO{|}^{2}}{2|AC||AO|}$=$\frac{4}{4R}$=$\frac{1}{R}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$=2×R×$\frac{1}{R}$=2；
（2）∵${S}_{△ABC}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，b=2，c=3，
∴$\frac{1}{2}bcsin∠BAC$=$\frac{1}{2}×2×3×sin∠BAC$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得sin∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC为锐角三角形，∴∠BAC=60°，则cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cos∠BAC=4+9-6=7，
解得a=$\sqrt{7}$，
由正弦定理可得，2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，则R=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∵O为△ABC的外心，∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=|OB|•|OC|cos∠BOC=$\frac{\sqrt{21}}{3}×\frac{\sqrt{21}}{3}×（-\frac{1}{2}）$=$-\frac{7}{6}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，三角形的面积公式，圆周角定理，熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键．