Question

8．已知a、b、c是△ABC的三条边，且$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$=$\frac{2c-b}{2c}$，求cos$\frac{B+C}{2}$．

Answer 1

分析 首先，根据三角形的内角和定理，化简所给等式，然后，结合正弦定理和余弦定理进行化简即可．

解答 解：∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
∵$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$=$\frac{2c-b}{2c}$，
结合正弦定理，得
∴2acosB-2bcosA=2c-b，
根据余弦定理，得
∴2a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-2b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=2c-b，
∴a²+c²-b²-（b²+c²-a²）=2c²-bc，
∴a²=b²+c²-$\frac{1}{2}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{4}$
∵$\frac{B+C}{2}=\frac{π}{2}-\frac{A}{2}$，
∴cos$\frac{B+C}{2}$=sin$\frac{A}{2}$，
=$\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}$=$\sqrt{\frac{1-\frac{1}{4}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴cos$\frac{B+C}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题重点考查了正弦定理和余弦定理、三角公式等知识，属于中档题．