Question

19．已知f（x）=ax²+b，其中a，b，x均为实数，且A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．
 （1）求证：A⊆B；
（2）当A≠B，并且A，B均不为空集时，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可以说明任意的x∈A，都能得出x满足f（f（x））=x，从而得出x∈B，从而便可得到A⊆B；
（2）由集合A，B便可得到方程ax²-x+b=0，和（ax²-x+b）（a²x²+ax+ab+1）=0，根据题意便知这两个方程都有解，且解不完全相同．可以判断出a≠0，并且能够得出方程ax²-x+b=0和a²x²+ax+ab+1=0有解时，解不完全相同，从而便可得出$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4ab≥0}\\{△={a}^{2}-4{a}^{2}（ab+1）≥0}\end{array}\right.$，可以解出$ab≤-\frac{3}{4}$，可设a＜0，b＞0，从而可得出$a≤-\frac{3}{4b}$，${a}^{2}≥\frac{9}{16{b}^{2}}$，然后根据基本不等式即可求出a²+b²的取值范围．

解答 解：（1）任意的x∈A，都有f（x）=x；
∴f（f（x））=f（x）=x；
即对任意的x∈A，x都满足f（f（x））=x；
∴x∈B；
∴A⊆B；
（2）由f（x）=x得，ax²-x+b=0   ①；
由f（f（x））=x得，a（ax²+b）²+b-x=0；
整理得，a³x⁴+2a²bx²-x+ab²=0，可因式分解为：（ax²-x+b）（a²x²+ax+ab+1）=0   ②； 
1）若a=0，方程①变成-x+b=0，x=b，方程②变成-x+b=0，x=b；
∴A=B，与A≠B矛盾；
2）若a≠0，根据题意方程①②有解；
方程ax²-x+b=0的两根之和为$\frac{1}{2a}$，方程a²x²+ax+ab+1=0的两根之和为$-\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}≠-\frac{1}{2a}$；
∴这两个方程有解时，解不完全相同；
∵A≠B；
∴方程a²x²+ax+ab+1=0有解；
∴a需满足$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4ab≥0}\\{{△=a}^{2}-4{a}^{2}（ab+1）≥0}\end{array}\right.$；
解得$ab≤-\frac{3}{4}$；
∴可设a＜0，b＞0，则$a≤-\frac{3}{4b}$；
∴${a}^{2}≥\frac{9}{16{b}^{2}}$；
∴${a}^{2}+{b}^{2}≥\frac{9}{16{b}^{2}}+{b}^{2}≥\frac{3}{2}$；
∴a²+b²的取值范围为[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及子集的概念，一元二次方程有解时，判别式△的取值情况，以及韦达定理．