Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（3）写出f（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（1）由题意可得：x∈R，所以定义域关于原点对称．

又因为 f（x）= = =

所以f（﹣x）= = =﹣f（x），

所以f（x）是奇函数．

（2）f（x）= = =1﹣ ，在R上是增函数，

证明如下：任意取x1，x2，并且x1＞x2∴

则 f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0

所以f（x1）＞f（x2），则f（x）在R上是增函数．

（3）∵0＜ ＜2

∴f（x）=1﹣ ∈（﹣1，1），

所以f（x）的值域为（﹣1，1）．

【解析】（1）判断函数的奇偶性，需先判断函数的定义域关于原点对称；（2）根据函数单调性的定义可以证明函数的单调性；（3）利用不等式的基本性质求得函数的值域.
【考点精析】关于本题考查的函数的值域和函数单调性的判断方法，需要了解求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能得出正确答案．