Question

【题目】已知函数g（x）=aln x，f（x）=x3+x2+bx．
（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x3+x2+bx，得f′（x）=3x2+2x+b，

∵f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，

∴f′（x）在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0

f′（x）=3 +b﹣ ，

∴ ，

∴﹣16＜b＜﹣5；

（2）解：由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，

∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，

∴a≤ 恒成立，即a≤（ ）min．

令t（x）= ，x∈[1，e]，求导得，t′（x）= ，

当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣lnx＞0，从而t′（x）≥0，

∴t（x）在[1，e]上为增函数，tmin（x）=t（1）=﹣1，

∴a≤﹣1．

【解析】（1）求出函数的导数，根据f′（x）在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，得到关于b的不等式组，解出即可；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．