Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$，求f（$\frac{1}{2015}$）+（$\frac{2}{2015}$）+（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）．

Answer 1

分析 计算f（x）+f（1-x）=1，进而可得结论．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$．
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$+$\frac{{{4^{1-x}}}}{{{4^{1-x}}+2}}$=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$+$\frac{4}{{4+2•{4^x}}}$=1
即f（x）+f（1-x）=1
设f（$\frac{1}{2015}$）+（$\frac{2}{2015}$）+（$\frac{3}{2015}$）+…+（$\frac{2014}{2015}$）=m，
则f（$\frac{2014}{2015}$）+f（$\frac{2013}{2015}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）=m
等式相加得2014[f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2014}{2015}$）]=2m，
即2m=2014，
则m=1007，
故f（$\frac{1}{2015}$）+（$\frac{2}{2015}$）+（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）=1007．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件证明f（x）+f（1-x）=1是解决本题的关键．