Question

3．在正项数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$，求证：数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是等差数列．

Answer 1

分析 根据a_n+1-$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$，利用平方差公式，结合等差数列的定义进行证明即可．

解答 证明：∵a_n+1-$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$，
∴a_n+1-a_n=$\sqrt{{a}_{n+1}}$+$\sqrt{{a}_{n}}$，
∵正项数列{a_n}中，
∴a_n+1-a_n=（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$）（$\sqrt{{a}_{n+1}}$+$\sqrt{{a}_{n}}$）=$\sqrt{{a}_{n+1}}$+$\sqrt{{a}_{n}}$，
即$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$=1，
即{$\sqrt{{a}_{n}}$}是公差为1的等差数列．

点评 本题主要考查等差数列的证明，利用等差数列的定义是证明本题的基本方法．