Question

2．已知P（异于原点O）在抛物线y²=4x上，F为焦点，则|PO|：|PF|的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由抛物线的性质写出准线方程，再由定义得到|PF|=x+1，从而有|PO|：|PF|=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{x+1}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4x}}{x+1}$，令x+1=t（t≥1），转化为t的函数，整理配方得到f（t）=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+2t-3}}{t}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，由二次函数的对称轴，即可得到最大值．

解答 解：∵抛物线y²=4x的准线方程为：x=-1，
∴由抛物线的定义可得，|PF|=x+1，
∴|PO|：|PF|=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{x+1}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4x}}{x+1}$，
令x+1=t（t≥1），则上式=f（t）=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+2t-3}}{t}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
于是当$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{3}$，即t=3，即x=2，f（t）取最大为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查函数的最值求法，及配方法，属于中档题．